Mathematics

First of all, divide the Power of 3 by 4. If you get any remainder, put it as the power of 3 and get the result using the below-given table. If you don’t get any remainder after dividing the power of 3 by 4, your answer will be (3)4 which always gives 1 as the remainder Easy Way to Find Unit Digit of Powers Let’s solve a few examples to make things clear. (1) Find the Units Digit in (3)33 Sol – Step-1: Divide the power of 3 by 4. It means, dividing 33 by 4. Step-2: You get the remainder 1. Step-3: Since you have got 1 as a remainder, put it as a power of 3 i.e (3)1. Step-4: Have a look at the table, (3)1=3. So, the answers will be 3 (2) Find the Unit Digit in (3)32 Sol – Step-1: Divide the power of 3 by 4. It means, dividing 32 by 4. Step-2: It’s completely divisible by 4. It means the remainder is 0. Step-3: Since you have got nothing as a remainder, put 4 as a power of 3 i.e (3)4. Step-4: Have a look at the table, (3)4=1. So, Answer will be 1 Finding the Unit Digit of Powers of 0,1,5,6 The unit digit of 0,1,5,6 always remains same i.e 0,1,5,6 respectively for every power. Finding the Unit Digit of Powers of 4 & 9 In the case of 4 & 9, if powers are Even, the result will be 6 & 4. However, when their powers are Odd, the result will be 1 & 9. The same is depicted below. If the Power of 4 is Even, the result will be 6 If the Power of 4 is Odd, the result will be 4 If the Power of 9 is Even, the result will be 1 If the Power of 9 is Odd, the result will be 9. For Example- (9)84 = 1 (9)21 = 9 (4)64 = 6 (4)63 = 4 Finding the Unit Digit of Powers of 7 (same approach) First of all, divide the Power of 7 by 4. If you get any remainder, put it as the power of 7 and get the result using the below-given table. If you don’t get any remainder after dividing the power of 7 by 4, your answer will be (7)4which always give 1 as the remainder Easy Way to Find Unit Digit of Powers Let’s solve a few examples to make things clear. (1) Find the Units Digit in (7)34 Sol – Step-1:Divide the power of 7 by 4. It means, dividing 34 by 4. Step-2:You get the remainder 2. Step-3:Since you have got 2 as a remainder, put it as a power of 7 i.e (7)2. Step-4:Have a look at the table, (7)2=9. So, Answer will be 9 (2) Find the Unit Digit in (7)84 Sol – Step-1:Divide the power of 7 by 4. It means, divides 84 by 4. Step-2:It’s completely divisible by 4. It means the remainder is 0. Step-3:Since you have got nothing as a remainder put 4 as a power of 7 i.e (7)4. Step-4:Have a look at the table, (7)4=1. So, Answer will be 1 Finding the Unit Digit of Powers of 8 (same approach) First of all, divide the Power of 8 by 4. If you get any remainder, put it as the power of 8 and get the result using the below-given table. If you don’t get any remainder after dividing the power of 8 by 4, your answer will be(8)4which always give 6 as the remainder Easy Way to Find Unit Digit of Powers Let’s solve a few examples to make things clear. (1) Find the Units Digit in (8)34 Sol – Step-1:Divide the power of 8 by 4. It means, dividing 34 by 4. Step-2: You get the remainder 2. Step-3: Since you have got 2 as a remainder, put it as a power of 8 i.e (8)2. Step-4: Have a look at the table, (8)2=4. So, answers will be 4 (2) Find the Unit Digit in (8)32 Sol- Step-1:Divide the power of 8 by 4. It means, dividing 32 by 4. Step-2:It’s completely divisible by 4. It means the remainder is 0. Step-3:Since you have got nothing as a remainder put 4 as a power of 8 i.e (8)4. Step-4:Have a look at the table, (8)4=1. So, answers will be 6

Some previous year questions asked in CTET Exams are listed below: (a) Find the Units Place in (567)98 + (258)33 + (678)67 (b) What will come in Units Place in (657)85 – (158)37 These questions can be time-consuming for those students who are unaware of the fact that there are shortcut methods for solving such questions. Finding the Unit Digit of Powers of 2 First of all, divide the Power of 2 by 4. If you get any remainder, put it as the power of 2 and get the result using the below-given table. If you don’t get any remainder after dividing the power of 2 by 4, your answer will be (2)4 which always gives 6 as the remainder. Finding the Unit Digit of Powers of 4 & 9 In the case of 4 & 9, if powers are Even, the result will be 6 & 4. However, when their powers are Odd, the result will be 1 & 9. The same is depicted below. If the Power of 4 is Even, the result will be 6 If the Power of 4 is Odd, the result will be 4 If the Power of 9 is Even, the result will be 1 If the Power of 9 is Odd, the result will be 9. For Example – (9)84 = 1 (9)21 = 9 (4)64 = 6 (4)63 = 4

पूर्णांक a के 3 गुणक और पूर्णांक b के 5 गुणक का योगफल क्या है, जब a = 4 और b = 6? उत्तर: 90 एक व्यक्ति ने एक वस्त्र को 20% सस्ता बेचा, और फिर उसे 25% का छूट दी. अब वस्त्र का वास्तविक मूल्य क्या है, यदि यह 600 रुपये पर बेचा गया था? उत्तर: 720 रुपये एक ट्रेन 300 किलोमीटर की दूरी को 4 घंटे में पूरी करता है. ट्रेन की औसत गति क्या है? उत्तर: 75 किलोमीटर/घंटा यदि 3x + 7 = 22 है, तो ‘x’ की मान्यता क्या है? उत्तर: x = 5 एक दुकानदार ने एक वस्त्र को 25% सस्ता बेचा और फिर उसे 20% की छूट दी. यदि वस्त्र का मूल्य 400 रुपये था, तो आखिरकार उसने कितने रुपये पाये? उत्तर: 240 रुपये एक चक्रिक वृत्त का व्यास 14 सेंटीमीटर है. इस वृत्त का क्षेत्रफल क्या है? (π का मानदंड लीजिए = 3.14) उत्तर: 154 सेंटिमीटर वर्ग एक छात्र ने एक परीक्षा में 85 मार्क्स प्राप्त किए. इसका प्रतिशत मूल्य क्या है, यदि पूर्णांक में जवाब दें? उत्तर: 85% एक विक्रेता ने एक वस्त्र को 20% सस्ता बेचा और फिर उसे 10% की छूट दी. यदि वस्त्र का मूल्य 400 रुपये था, तो विक्रेता का लाभ क्या होगा? उत्तर: 32 रुपये एक ट्रेन ने 2 घंटे 30 मिनट में 180 किलोमीटर की दूरी तय की. इसका औसत गति क्या होगा? उत्तर: 72 किलोमीटर/घंटा एक व्यक्ति ने एक विशेष वस्त्र को 20% की छूट के साथ 400 रुपये में खरीदा। वस्त्र का मूल्य प्रारंभ में क्या था? उत्तर: 500 रुपये

प्रतिशत 1 प्रतिशत का तात्पर्य एक ऐसी जिन्न से है जिसका हर 100 हो । ‘किसी प्रतिशत को भिन्न, दशमलव या पूर्ण संख्या में बदलने के लिए 100 से भाग देते हैं। # 60% 6 600/100 60% = 60/100 3/15 = 0.6 600/- = 600/100 = 6 किसी भिन्न, दशमलव, या पूर्ण संख्या को प्रतिशत में बदलने के लिए 100 से गुषा MOHIS TEZZAS * 3/5 = 95×100 – 300 = 60/- *0.6 0.6x 100 = 607 * 6 = 6×100 = 600% करते हैं।

AVERAGE OF NUMBERS HAVING DIFF IN ARITHMETIC:दो case हैं:जब शब्दों की संख्या विषम होगी तो औसत मध्य अवधि होगी।जब कई शब्द सम होते हैं तो औसत दो मध्य शब्दों का औसत होगा। उदाहरण: प्रश्न 112, 13, 14, 15, 16 का औसत ज्ञात कीजिएहल:यहाँ अंतर AP में है और शब्दों की संख्या विषम है। तो औसत मध्य संख्या होगी।अंकगणित में भिन्न होने वाली संख्याओं के औसत की गणना करने का एक और तरीका हैऔसत की गणना ½ (प्रथम पद + अंतिम अवधि) के रूप में की जा सकती हैउदाहरण:प्रश्न 212, 13, 14, 15, 16, 17 का औसत ज्ञात कीजिएहल:यहां शब्दों की संख्या सम और भिन्न है, अंकगणित में है, इसलिए औसत मध्य दो शब्दों का औसत होगा।यानी 14 और 15औसत = (14 + 15) / 2 = 14.5वैकल्पिक:औसत = first (पहला कार्यकाल + अंतिम अवधि) = (14 + 15) = 14.5 टाइप 2: यदि कुछ संख्याओं का औसत M है और प्रत्येक संख्या से एक और संख्या x जोड़ा, घटाया, गुणा या विभाजित किया जाता है, तो फिर औसत को क्रमशः जोड़ा, घटाया, गुणा या विभाजित किया जाएगा। टाइप 3: यदि n संख्याओं का औसत “M” है और एक संख्या शामिल है, तो दो मामले सामने आते हैं: यदि शामिल संख्या “X” औसत से अधिक है तो औसत को शामिल संख्या से घटाया जाता है और परिणाम “n + 1” से विभाजित होंगे अतिरिक्त मूल्य = X – MDistributed मूल्य = (X – M) / (n + 1)नया औसत = एम + वितरित मूल्ययदि शामिल संख्या “X” औसत से छोटी है तो शामिल संख्या औसत से घटा दी जाती है और परिणामी को “+ + 1” से विभाजित किया जाता है अतिरिक्त मूल्य = M – XAdjusted मान = (M – X) / (n + 1)नया औसत = एम – समायोजित मूल्य टाइप 4: यदि n संख्याओं का औसत “M” है और एक संख्या को बाहर रखा गया है, तो दो मामले सामने आते हैं: यदि बहिष्कृत संख्या “X” औसत से अधिक है तो औसत को बाहर रखे गए नंबर से घटाया जाता है और परिणामी को “n-1” से विभाजित किया जाएगा।अतिरिक्त मूल्य = एक्स – एमएड्यूस्ड मान = (एक्स – एम) / (एन -1)नया औसत = एम – समायोजित मूल्ययदि बहिष्कृत संख्या “X” औसत से छोटी है, तो बहिष्कृत संख्या औसत से घटा दी जाती है और परिणामी को “n-1” से विभाजित किया जाता है अतिरिक्त मान = M – XAdjusted मान = (M – X) / (n-1)नया औसत = एम + समायोजित मूल्य टाइप 5: https://googleads.g.doubleclick.net/pagead/ads?client=ca-pub-8630225996684883&output=html&h=188&slotname=5008459265&adk=943140417&adf=141302989&pi=t.ma~as.5008459265&w=752&fwrn=4&lmt=1699576231&rafmt=11&format=752×188&url=https%3A%2F%2Fwww.downloadpdfnotes.com%2F2019%2F01%2Faverage-short-tricks-in-hindi.html&ea=0&host=ca-host-pub-1556223355139109&wgl=1&dt=1699607872642&bpp=1&bdt=1162&idt=521&shv=r20231108&mjsv=m202311020101&ptt=9&saldr=aa&abxe=1&cookie=ID%3Da24cf3b2959de48b%3AT%3D1699606393%3ART%3D1699607820%3AS%3DALNI_MYv1mKtF2iUGcu1gPfYlIPR2aPh7A&gpic=UID%3D00000c83df9d5a19%3AT%3D1699606393%3ART%3D1699607820%3AS%3DALNI_Mb6YBrsiA2ZDa7VvIyG6w1fI5RN3w&prev_fmts=0x0%2C730x280%2C330x1135&nras=1&correlator=2125835342213&frm=20&pv=1&ga_vid=730732006.1699606392&ga_sid=1699607873&ga_hid=170052260&ga_fc=1&rplot=4&u_tz=330&u_his=5&u_h=768&u_w=1366&u_ah=728&u_aw=1366&u_cd=24&u_sd=1&adx=110&ady=2764&biw=1349&bih=643&scr_x=0&scr_y=198&eid=44759876%2C44759927%2C44759837%2C31079407%2C44804684%2C44807460%2C31078301%2C31079473%2C44807749%2C44808149%2C44808285&oid=2&pvsid=2045013547321197&tmod=838117141&nvt=1&ref=https%3A%2F%2Fwww.downloadpdfnotes.com%2Fp%2Fmath-notes-pdf-download.html&fc=1920&brdim=-8%2C-8%2C-8%2C-8%2C1366%2C0%2C1382%2C744%2C1366%2C643&vis=1&rsz=%7C%7CpoeEbr%7C&abl=CS&pfx=0&fu=128&bc=31&psd=W251bGwsbnVsbCxudWxsLDNd&ifi=3&uci=a!3&btvi=1&fsb=1&dtd=809 यदि n संख्याओं का औसत “M” है और एक संख्या को बाहर रखा गया है और एक अन्य संख्या शामिल है तो दो मामले सामने आते हैं:यदि शामिल संख्या “X” शामिल संख्या “Y” से अधिक है, तो शामिल संख्या को बहिष्कृत संख्या से घटाया जाता है और परिणामी को “n” से विभाजित किया जाएगा।अतिरिक्त मान = X – YAdjusted मान = (X – Y) / (n)नया औसत = एम – समायोजित मूल्ययदि शामिल संख्या “X” शामिल संख्या से छोटी है, तो शामिल संख्या से बाहर रखा गया नंबर घटाया जाता है और परिणामी को “n” से विभाजित किया जाता है। अतिरिक्त मूल्य = Y – XAdjusted मान = (Y – X) / (n)नया औसत = एम + समायोजित मूल्य उदाहरण: प्रश्न 1कक्षा में 15 छात्रों की औसत आयु 42 है और शिक्षक की उम्र जो कि 58 है, उनके साथ भी शामिल है। शिक्षक और छात्रों की नई औसत आयु ज्ञात करें।हल: तो शिक्षक की सम्मिलित आयु छात्रों की औसत आयु से अधिक है।अतिरिक्त मूल्य = 58 – 42 = 16समायोजित मान = 16/16 = 1नया औसत = 42 + 1 = 43इसलिए आवश्यक नए औसत 43 है। प्रश्न 2Is विषयों में एक छात्र के औसत अंक ९४ हैं और अंग्रेजी का अंक जो student० है, उसे बाहर रखा गया है। किसी छात्र के नए औसत अंक ज्ञात कीजिए।समाधान की: अतः बाहर रखा गया चिह्न किसी छात्र के औसत अंकों से छोटा है।अतिरिक्त मूल्य = 94 – 70 = 24समायोजित मूल्य = 24/6 = 4नया औसत = 94 – 4 = 90इसलिए छात्र के 6 विषयों के नए औसत अंक 90 हैं। प्रश्न 3 10 व्यक्तियों का औसत वजन 65 किलोग्राम है। लेकिन एक व्यक्ति का वजन 75 किलो बचा और दूसरे व्यक्ति का वजन 65 किलो समूह में शामिल हो गया। नया औसत वजन ज्ञात कीजिए।समाधान की: इसलिए व्यक्ति को छोड़ने का वजन जुड़ने वाले व्यक्ति के वजन से अधिक है। तो औसत भी घटेगा।अतिरिक्त मूल्य = 75 – 65 = 10समायोजित मूल्य = 10/10 = 1नया औसत = 65 – 1 = 64इसलिए 10 व्यक्तियों का नया आवश्यक औसत वजन 64 है। प्रश्न 410 छात्रों की औसत आयु 25 है। लेकिन शिक्षक की उम्र भी शामिल है और नई औसत आयु 29 तक बढ़ जाती है। शिक्षक की आयु का पता लगाएं।समाधान की: हम इस प्रक्रिया के माध्यम से किसी भी लापता मूल्य का पता लगा सकते हैं। नई औसत आयु पिछली औसत आयु से अधिक है। तात्पर्य यह है कि शिक्षक की आयु औसत से अधिक होनी चाहिए। हमें कितना खोजना है।अतिरिक्त मूल्य = 29 – 25 = 4समायोजित मूल्य = 4 * 11 = 44शिक्षक की आयु = २५ + ४४ = ६ ९इसलिए शिक्षक की आवश्यक आयु 69 है। कुछ और उदाहरण उदाहरण 16 सदस्यों के परिवार की औसत आयु 20 वर्ष है। यदि सबसे कम उम्र के सदस्य की आयु 6 वर्ष है। सबसे कम उम्र के सदस्य के जन्म के समय परिवार की औसत आयु ज्ञात कीजिए?हल:सबसे छोटे बच्चे के जन्म के दौरान, परिवार के केवल 5 सदस्य होंगे। टाइप 2 के अनुसार यदि किसी विशेष संख्या को प्रत्येक संख्या से घटाया जाता है तो संख्या औसत से घटा दी जाती है।तो 6 सदस्यों का औसत = 20 – 6 = 14लेकिन जन्म के दौरान केवल 5 सदस्य होंगे।तो, आवश्यक औसत = कुल आयु / नहीं। सदस्यों के= 14 × 65 = 84514 × 65 = 845 = 16.8इसलिए औसत आयु 16.8 वर्ष है उदाहरण 210 पारियों में बल्लेबाजों का औसत स्कोर 21.5 रन है।एक बल्लेबाज को अपनी अगली पारी में कितने रन बनाने होंगे ताकि उसका औसत स्कोर 25 रन हो जाए?हल:यह बुझती है। TYPE

क्रमचय और संचय क्रमचय और संचय के तरीकों से संबंधित गणित की गणना बैंक परीक्षाओं में दी जाती है इसलिए परीक्षाओं के लिए सीखना महत्वपूर्ण है।तथ्यात्मक संकेतनयदि हम मानते हैं कि ‘n consider एक धनात्मक पूर्णांक है। फिर, हमने factorial n को wen या n के रूप में निरूपित किया!n! की तरह परिभाषित किया गया हैn! = n (n-1) (n-2) …………… .3.2.1। उदाहरण 5! = (1 x 2 x 3 x 4 x 5)5! = 120। 4! = (1 x 2 x 3 x 4)4! = 24। 3! = (१ x २ x ३)3! = 6। याद रखने वाली चीज़ें1! = 1 [भाज्य 1 हमेशा 1 होता है]0! = 1 [तथ्य 0 हमेशा 1 होता है]परिवर्तनकिसी दिए गए नंबर या चीजों को एक बार में कुछ या सभी लेने की अलग-अलग व्यवस्थाओं को क्रमचय कहा जाता है।शॉर्ट एंड बेसिक थिंक में, क्रमचय व्यवस्था है, दिए गए नंबर या अक्षर, कि हम इसे कैसे व्यवस्थित करते हैं। हम इसे एक बार में कुछ संख्या या अक्षर लेने की व्यवस्था कर सकते हैं या हम एक बार में इसे लेने की व्यवस्था कर सकते हैं। उदाहरण एक समय में दो लेने से (बी, सी के अक्षरों के साथ किए गए सभी क्रमचय (या व्यवस्था) हैं (एबी, बा, एसी, सीए, बीसी, सीबी)। उदाहरण ए, बी, सी के साथ किए गए सभी क्रमचय, एक समय में सभी ले रहे हैं: (एबीसी, एसीबी, बेक, बीकेए, कैब, सीएबीए)।क्रमचय की संख्याएक बार में ली गई n चीजों के सभी क्रमचय की संख्या निम्नानुसार दी गई है:nPr = n (n-1) (n-2) …… (n-r + 1)याnPr = n! / (एन-आर)! उदाहरण 5P25! / (5-2)!= ५! / ३!= (5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (3 x 2 x 1)= (५ x ४)= 20। उदाहरण 8P38! / (8-3)!= 8! / ५!= (8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1)= (= X (x ६)= 336। प्रश्न 1: ए, बी और सी तीन अक्षरों को कितने तरीकों से अनुमति दी जा सकती है? हल:तीन पत्रों के सभी संभावित 3 अक्षर क्रमचय में, पहली स्थिति में तीन अक्षरों में से कोई भी हो सकता है। पहली स्थिति में किसी पत्र को चुने जाने के 3 संभावित तरीके हैं – या तो ए, बी या सी। सभी आदेशित व्यवस्था या क्रमचय की गणना करने की विधि तो पहले स्थान पर 3 अक्षरों से 3 संभावित तरीकों से कब्जा किया जा सकता है। इन 3 संभावित व्यवस्थाओं में से प्रत्येक के लिए, पहले स्थान का निर्णय पहले ही हो चुका है और हमारे पास 2 शेष अक्षर हैं जिन्हें दूसरी स्थिति में केवल 2 अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। जब हम पत्र को दूसरी स्थिति के लिए तय करते हैं, तो तीसरे स्थान के लिए पत्र स्वचालित रूप से तय किया जाता है क्योंकि शेष पत्र केवल 1 है। इस प्रकार, कुल 3 पत्र क्रमोन्नति या विशिष्ट रूप से तीन पत्रों a, b, c, के लिए संभव व्यवस्था के आदेश दिए गए हैं, 3P3 = 3 × 2 = भाज्य (3) = 3! 3P3 = 3 × 2 = भाज्य (3) = 3!= 3 × 2 × 1 = 6 = 3 × 2 × 1 = 6 सभी संभव 3 अक्षर क्रमचय या 3 अक्षरों की अलग व्यवस्था a, b, c हैं,एबीसी, एसीबी, बीएसी, बीएसी, टैक्सी, सीबेक, एसीबी, बीकेए, बीए, टैक्सी, सीएबी यदि तीन के बजाय 4 अलग-अलग अक्षर थे [a, b, c, d] [a, b, c, d], तो अक्षरों या क्रमों की व्यवस्था करने के लिए अलग-अलग तरीकों की कुल संख्या होगी,4P4 = 4! = 244P4 = 4! = 24केस 2: आइए अब 4 अक्षरों में से 3 अक्षरों के सभी संभावित क्रमों के एक और मामले पर विचार करें [a, b, c, d] [a, b, c, d]। यह 4 में से 3 अलग-अलग वस्तुओं का क्रमचय है।आदेशित व्यवस्था या क्रमचय की गणना करने की विधिइस मामले में, पहले हमें पहले स्थिति को ठीक करने दें। हम किसी भी 4 अक्षर को पहली स्थिति में रख सकते हैं। पहली स्थिति को ठीक करने के बाद, अब हमें 3 अक्षरों के साथ छोड़ दिया जाता है और दूसरी स्थिति में हम इन 3 अक्षरों में से किसी को भी डाल सकते हैं। अंत में पहले दो पदों में से प्रत्येक को ठीक करने के बाद, हमारे पास तीसरी स्थिति के लिए 2 संभावनाएँ होंगी। तो कुल संख्या क्रमचय,4P3 = 4 × 3 × 2 = 24 = 4! (4-3)! 4P3 = 4 × 3 × 2 = 24 = 4! (4-3)! इसी प्रकार, 5 विभिन्न वस्तुओं में से 3 वस्तुओं के क्रमचय की संख्या है,5P3 = 5 × 4 × 3 = 60 = 5! (5-3)! 5P3 = 5 × 4 × 3 = 60 = 5! (5-3)! सामान्य तौर पर, मिमी अलग-अलग वस्तुओं में से nn अलग-अलग वस्तुओं के क्रमचय की संख्या है,एमपीएन = मीटर × (एम-1) × (एम-2) … × (एम-n + 1) MPN = मीटर × (एम-1) × (एम-2) … × (एम-n + 1)= मी! (एम-एन)! = मी! (एम-एन)! अभिव्यक्ति m × (m) 1) × (m … 2) … × (m × n + 1) m × (m (1) × (m) 2) … × (m − n + 1) गुणा किया जाता है और (m) n) से विभाजित किया गया है! (m − n)! एम पाने के लिए! अंश में और (m − n)! (m! n)! हर में। इस तरह से क्रमचय के लिए प्रसिद्ध सूत्र प्राप्त होता है। लेकिन इससे भी महत्वपूर्ण बात, यह समझना महत्वपूर्ण है कि m × (m × 1) × (m) 2) की संख्या … × (m × n + 1) m × (m) 1) × (m) 2) … × (m + n + 1) एक व्यवस्थित पद्धति के बाद व्यवस्था या क्रमचय होते हैं। ध्यान दें: मिमी अलग-अलग वस्तुओं से बाहर मिमी के क्रमचय की संख्या समान है (एम Number 1) (एम mm 1) मिमी अलग-अलग वस्तुओं में से।एम पी एम = मी! (एम-एम)! = मी! 0! एम पी एम = मी! (एम-एम)! = मी! 0!= मी! 1! = मी! [M-

What is an Equation? An equation says that two things are equal. It will have an equals sign “=” like this:x+2=6That equations says: what is on the left (x + 2) is equal to what is on the right (6) So an equation is like a statement “this equals that” (Note point: this equation has the solution x=4, read how to solve equations.) What is a Formula? A formula is a special type of equation that shows the relationship between different variables. A variable is a symbol like x or V that stands in for a number we don’t know yet.Ex. The formula for finding the volume of a box is:V = lwhV stands for volume, l for length, w for width, and h for height. Cuboid When l=10, w=4, and h=5, then:V = 10 × 4 × 5 = 200A formula will have more than one variable.These are all equations, but only some are formulas: x = 2y – 7    Formula (relating x and y)a2 + b2 = c2    Formula (relating a, b and c)x/2 + 7 = 0    Not a Formula (just an equation) Without the Equals Sometimes a formula is written without the “=”:Ex. The formula for the volume of a box is:lwhBut in a way the “=” is still there, because we can write V = lwh if we want to. Subject of a Formula The “subject” of a formula is the single variable (usually on the left of the “=”) that everything else is equal to.Ex. in the formula s = ut + ½ at2 “s” is the subject of the formula Changing the Subject A very powerful thing that Algebra can do is to “rearrange” a formula so that another variable is the subject.Ex. Rearrange the volume of a box formula (V = lwh) so that the width is the subjectStart with:    V = lwhdivide both sides by h:    V/h = lwdivide both sides by l:    V/(hl) = wswap sides:    w = V/(hl)So now when we want a box with a volume of 12, a length of 2, and a height of 2, we can calculate its width: w =    V/(hl)=    12 / (2 × 2)=    12 / 4=    3 Profit and Loss Profit/loss = Sales price – Cost price In case of profit 25% of  Cost Price (1/4 of CP) = 20% of Selling Price (1/5 of SP)Similarly, 1/3 of CP  = 1/2 of SP In case of loss 25% of  Selling Price (1/4 of SP) = 20% of Cost Price (1/5 of CP) Profit and Loss Estimation That’s the most important technique. This is not a secret that every successful candidate is using this technique during exams. Example – 112 × 92Simply 112 × 9 = 1008⇒ Add a zero 10080 and then add 224 to 10080.⇒ Answer is 10304You need to do all the calculations in your brain. Don’t use paper. You need to divide complex calculations into parts and solve it in your brain without paper. That’s how toppers do complex calculations during exams.Right now it will be difficult for you to use this method but with practice, you will be able to do any complicated calculation within seconds.Sencelry, 1/3 of SP  = 1/2 of CP

Differentiation and Integration Important Formulas (Advance Math) Integration Basic Formulas Integrals of some special functions (Advance Math)

1. राजू उम्र 15 साल बाद 5 साल की उम्र 5 गुना होगी, राजू की वर्तमान उम्र क्या है उत्तर: विकल्प सीSolutionस्पष्ट रूप से,एक्स +15 = 5 (एक्स -5)<=> 4x = 40 => x = 10 2. सचिन 7 साल से राहुल से छोटे हैं। यदि उनकी आयु का अनुपात 7: 9 है, तो सचिन की उम्र पाएं उत्तर: विकल्प बीSolutionयदि राहुल की उम्र एक्स है, तो सचिन उम्र x-7 है,तो (एक्स -7) / एक्स = 7/9=> 9 x-63 = 7x=> 2x = 63=> एक्स = 31.5तो सचिन की आयु 31.5 – 7 = 24.5 है 3. पी और क्यू की वर्तमान उम्र के बीच अनुपात 6: 7 है। यदि क्यू पी से 4 साल पुराना है, तो 4 साल बाद पी और क्यू की उम्र का अनुपात क्या होगा उत्तर: विकल्प एSolutionपी उम्र और क्यू आयु 6x साल और 7x साल होने दें।फिर 7x – 6x = 4 <=> x = 4तो आवश्यक अनुपात होगा (6x + 4): (7x + 4) => 28:32 => 7: 8 4. दो व्यक्तियों के युग 16 साल से भिन्न होते हैं। अगर 6 साल पहले, बुजुर्ग छोटे से 3 गुना छोटा हो, तो अपनी वर्तमान उम्र पाएं उत्तर: विकल्प बीSolutionयुवा व्यक्ति की उम्र एक्स है,फिर बुजुर्ग व्यक्ति उम्र (x + 16) है=> 3 (x-6) = (x + 16-6) [6 साल पहले]=> 3x-18 = x + 10=> एक्स = 14। तो अन्य व्यक्ति उम्र x + 16 = 30 है 5. पिता और पुत्र की उम्र 45 वर्ष है। पांच साल पहले, उस समय उनके युग का उत्पाद पिता की उम्र चार गुना था। पिता और पुत्र की वर्तमान उम्र उत्तर: विकल्प सीSolutionबेटों की आयु = x साल दें। तब पिता उम्र = (45 – x) साल।(एक्स -5) (45-x-5) = 4 (45- x – 5) इसलिए (x-5) = 4 तो x = 9 उनकी उम्र 36 साल और 9 साल है। 6. दस साल पहले, पी उम्र में क्यू का आधा था। यदि उनकी वर्तमान आयु का अनुपात 3: 4 है, तो उनकी वर्तमान आयु का कुल योग क्या होगा उत्तर: विकल्प एSolutionपी और क्यू की वर्तमान उम्र क्रमशः 3x और 4x हो।10 साल पहले, पी उम्र में क्यू का आधा था=> 2 (3x – 10) = (4x – 10)=> 6x – 20 = 4x – 10=> 2x = 10=> एक्स = 5 7. ए और बी की कुल आयु बी और सी सी की कुल आयु से 12 वर्ष अधिक है ए ए से कितनी साल छोटी है उत्तर: विकल्प बीSolutionयह देखते हुए कि ए + बी = 12 + बी + सी=> ए – सी = 12 + बी – बी = 12=> सी 12 साल से ए से छोटा है

1.दो उम्मीदवारों के बीच एक चुनाव में, कुल वैध वोटों में से 55% प्राप्त हुए, 20% वोट अवैध थे। यदि वोटों की कुल संख्या 7500 थी, तो अन्य उम्मीदवारों को वैध वोटों की संख्या मिली थीए) 2500बी) 2700सी) 2 9 00डी) 3100  Answers: बी) 2700Solution:-वोटों की कुल संख्या = 7500यह देखते हुए कि प्रतिशत वोट का 20% अमान्य था => मान्य वोट = 80% कुल वैध वोट = 7500 * (80/100)पहले उम्मीदवारों के पहले उम्मीदवारों में से 55% को मिला।इसलिए दूसरे उम्मीदवार को कुल वैध वोटों का 45% होना चाहिए था=> वैध वोट जो दूसरे उम्मीदवार को मिला = कुल वैध वोट x (45/100)7500 * (80/100) * (45/100) = 2700 2.यदि एक = बी का 20%, तो 20% का बी% जैसा ही है:ए) बी का 4%)बी 6%सी) डी का 8%)ए 10% Answers: ए) 4% एSolution:-20% = = बी => (20/100) ए = बीबी% का 20% (बी / 100) x 20 = (20 ए / 100) एक्स (1/100) एक्स (20) = 4 ए / 100 = ए 4%। 3.ताजा फल में 68% पानी होता है और सूखे फल में 20% पानी होता है। 100 किलोग्राम ताजे फल से कितना शुष्क फल प्राप्त किया जा सकता है?ए) 20बी) 30सी) 40डी) 50 Answers: सी) 40Solution:-ताजा फल और सूखे फल दोनों में फल सामग्री समान है।देखते हुए, ताजे फल में 68% पानी होता है। इसलिए शेष 32% फल सामग्री है। ताजा फल का वजन 100 किलो हैसूखे फल में 20% पानी होता है। इसलिए शेष 80% फल सामग्री है। अगर सूखे फल y किलो हो तो वजन कम करें।ताजा फल में फल% = सूखा फल में फल%इसलिए, (32/100) x 100 = (80/100) x yहम मिलता है, वाई = 40 किलो। 4.एक छात्र को पास करने के लिए कुल अंक का 33% प्राप्त करना होता है। उन्हें 125 अंक मिले और 40 अंक से असफल रहे। अधिकतम अंक हैं:ए) 500बी) 600सी) 800डी) 1000 Answers: ए) 500Solution:-यह देखते हुए कि छात्र को 125 अंक मिले और फिर भी वह 40 अंकों से विफल रहे=> न्यूनतम पास चिह्न = 125 + 40 = 165यह देखते हुए कि कुल अंक का न्यूनतम पास चिह्न = 33%=> कुल अंक = 33/100 = 165=> कुल चिह्न = 16500/33 = 500