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AVERAGE OF NUMBERS HAVING DIFF IN ARITHMETIC:
दो case हैं:
जब शब्दों की संख्या विषम होगी तो औसत मध्य अवधि होगी।
जब कई शब्द सम होते हैं तो औसत दो मध्य शब्दों का औसत होगा।
उदाहरण:
प्रश्न 1
12, 13, 14, 15, 16 का औसत ज्ञात कीजिए
हल:
यहाँ अंतर AP में है और शब्दों की संख्या विषम है। तो औसत मध्य संख्या होगी।
अंकगणित में भिन्न होने वाली संख्याओं के औसत की गणना करने का एक और तरीका है
औसत की गणना ½ (प्रथम पद + अंतिम अवधि) के रूप में की जा सकती है
उदाहरण:
प्रश्न 2
12, 13, 14, 15, 16, 17 का औसत ज्ञात कीजिए
हल:
यहां शब्दों की संख्या सम और भिन्न है, अंकगणित में है, इसलिए औसत मध्य दो शब्दों का औसत होगा।
यानी 14 और 15
औसत = (14 + 15) / 2 = 14.5
वैकल्पिक:
औसत = first (पहला कार्यकाल + अंतिम अवधि) = (14 + 15) = 14.5
टाइप 2:
यदि कुछ संख्याओं का औसत M है और प्रत्येक संख्या से एक और संख्या x जोड़ा, घटाया, गुणा या विभाजित किया जाता है, तो फिर औसत को क्रमशः जोड़ा, घटाया, गुणा या विभाजित किया जाएगा।
- यदि M प्रत्येक संख्या में औसत और x जोड़ा जाता है, तो नया औसत “M + x” है
- यदि M औसत है और x प्रत्येक संख्या से गुणा किया जाता है, तो नया औसत “M * x” है
- यदि M औसत और x प्रत्येक संख्या में घटाया जाता है, तो नया औसत “M – x” है
- यदि M औसत है और x प्रत्येक संख्या में विभाजित है, तो नया औसत “M / x” है
टाइप 3:
यदि n संख्याओं का औसत “M” है और एक संख्या शामिल है, तो दो मामले सामने आते हैं:
यदि शामिल संख्या “X” औसत से अधिक है तो औसत को शामिल संख्या से घटाया जाता है और परिणाम “n + 1” से विभाजित होंगे
अतिरिक्त मूल्य = X – MDistributed मूल्य = (X – M) / (n + 1)
नया औसत = एम + वितरित मूल्य
यदि शामिल संख्या “X” औसत से छोटी है तो शामिल संख्या औसत से घटा दी जाती है और परिणामी को “+ + 1” से विभाजित किया जाता है
अतिरिक्त मूल्य = M – XAdjusted मान = (M – X) / (n + 1)
नया औसत = एम – समायोजित मूल्य
टाइप 4:
यदि n संख्याओं का औसत “M” है और एक संख्या को बाहर रखा गया है, तो दो मामले सामने आते हैं:
यदि बहिष्कृत संख्या “X” औसत से अधिक है तो औसत को बाहर रखे गए नंबर से घटाया जाता है और परिणामी को “n-1” से विभाजित किया जाएगा।
अतिरिक्त मूल्य = एक्स – एमएड्यूस्ड मान = (एक्स – एम) / (एन -1)
नया औसत = एम – समायोजित मूल्य
यदि बहिष्कृत संख्या “X” औसत से छोटी है, तो बहिष्कृत संख्या औसत से घटा दी जाती है और परिणामी को “n-1” से विभाजित किया जाता है
अतिरिक्त मान = M – XAdjusted मान = (M – X) / (n-1)
नया औसत = एम + समायोजित मूल्य
टाइप 5:
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यदि शामिल संख्या “X” शामिल संख्या “Y” से अधिक है, तो शामिल संख्या को बहिष्कृत संख्या से घटाया जाता है और परिणामी को “n” से विभाजित किया जाएगा।
अतिरिक्त मान = X – YAdjusted मान = (X – Y) / (n)
नया औसत = एम – समायोजित मूल्य
यदि शामिल संख्या “X” शामिल संख्या से छोटी है, तो शामिल संख्या से बाहर रखा गया नंबर घटाया जाता है और परिणामी को “n” से विभाजित किया जाता है।
अतिरिक्त मूल्य = Y – XAdjusted मान = (Y – X) / (n)
नया औसत = एम + समायोजित मूल्य
उदाहरण:
प्रश्न 1
कक्षा में 15 छात्रों की औसत आयु 42 है और शिक्षक की उम्र जो कि 58 है, उनके साथ भी शामिल है। शिक्षक और छात्रों की नई औसत आयु ज्ञात करें।
हल:
तो शिक्षक की सम्मिलित आयु छात्रों की औसत आयु से अधिक है।
अतिरिक्त मूल्य = 58 – 42 = 16
समायोजित मान = 16/16 = 1
नया औसत = 42 + 1 = 43
इसलिए आवश्यक नए औसत 43 है।
प्रश्न 2
Is विषयों में एक छात्र के औसत अंक ९४ हैं और अंग्रेजी का अंक जो student० है, उसे बाहर रखा गया है। किसी छात्र के नए औसत अंक ज्ञात कीजिए।
समाधान की:
अतः बाहर रखा गया चिह्न किसी छात्र के औसत अंकों से छोटा है।
अतिरिक्त मूल्य = 94 – 70 = 24
समायोजित मूल्य = 24/6 = 4
नया औसत = 94 – 4 = 90
इसलिए छात्र के 6 विषयों के नए औसत अंक 90 हैं।
प्रश्न 3
10 व्यक्तियों का औसत वजन 65 किलोग्राम है। लेकिन एक व्यक्ति का वजन 75 किलो बचा और दूसरे व्यक्ति का वजन 65 किलो समूह में शामिल हो गया। नया औसत वजन ज्ञात कीजिए।
समाधान की:
इसलिए व्यक्ति को छोड़ने का वजन जुड़ने वाले व्यक्ति के वजन से अधिक है। तो औसत भी घटेगा।
अतिरिक्त मूल्य = 75 – 65 = 10
समायोजित मूल्य = 10/10 = 1
नया औसत = 65 – 1 = 64
इसलिए 10 व्यक्तियों का नया आवश्यक औसत वजन 64 है।
प्रश्न 4
10 छात्रों की औसत आयु 25 है। लेकिन शिक्षक की उम्र भी शामिल है और नई औसत आयु 29 तक बढ़ जाती है। शिक्षक की आयु का पता लगाएं।
समाधान की:
हम इस प्रक्रिया के माध्यम से किसी भी लापता मूल्य का पता लगा सकते हैं।
नई औसत आयु पिछली औसत आयु से अधिक है। तात्पर्य यह है कि शिक्षक की आयु औसत से अधिक होनी चाहिए। हमें कितना खोजना है।
अतिरिक्त मूल्य = 29 – 25 = 4
समायोजित मूल्य = 4 * 11 = 44
शिक्षक की आयु = २५ + ४४ = ६ ९
इसलिए शिक्षक की आवश्यक आयु 69 है।
कुछ और उदाहरण
उदाहरण 1
6 सदस्यों के परिवार की औसत आयु 20 वर्ष है। यदि सबसे कम उम्र के सदस्य की आयु 6 वर्ष है। सबसे कम उम्र के सदस्य के जन्म के समय परिवार की औसत आयु ज्ञात कीजिए?
हल:
सबसे छोटे बच्चे के जन्म के दौरान, परिवार के केवल 5 सदस्य होंगे। टाइप 2 के अनुसार यदि किसी विशेष संख्या को प्रत्येक संख्या से घटाया जाता है तो संख्या औसत से घटा दी जाती है।
तो 6 सदस्यों का औसत = 20 – 6 = 14
लेकिन जन्म के दौरान केवल 5 सदस्य होंगे।
तो, आवश्यक औसत = कुल आयु / नहीं। सदस्यों के
= 14 × 65 = 84514 × 65 = 845 = 16.8
इसलिए औसत आयु 16.8 वर्ष है
उदाहरण 2
10 पारियों में बल्लेबाजों का औसत स्कोर 21.5 रन है।
एक बल्लेबाज को अपनी अगली पारी में कितने रन बनाने होंगे ताकि उसका औसत स्कोर 25 रन हो जाए?
हल:
यह बुझती है। TYPE 3 पर आधारित है जहां एक पारी को शामिल किया जाना है और इसके साथ औसत बढ़ेगा।
औसत वृद्धि = 25 – 21.5 = 3.5
यह वृद्धि अधिक रन स्कोर के कारण होगी फिर औसत स्कोर।
इसलिए 11 वां पारी स्कोर = 21.5 + 3.5 × × 11 = 60
कुछ उदाहरण देखें
16 वें इनिंग में एक बल्लेबाज़ ने 80 रन बनाए और इस तरह औसतन 4 रन बढ़ गए। 16 वीं पारी के बाद औसत ज्ञात कीजिए। (सुझाव: सबसे पहले 16 पारियों का औसत पाते हैं)
कक्षा में 30 लड़कों की औसत आयु 15 वर्ष के बराबर है। यदि शिक्षक की आयु भी शामिल है तो औसत 16 वर्ष हो जाता है। शिक्षक की आयु ज्ञात कीजिए।
45 टिप्पणियों का औसत 35 है। बाद में यह पाया गया कि एक अवलोकन जो कि 56 है, को गलत तरीके से 24 मान लिया गया है। 45 टिप्पणियों का वास्तविक औसत ज्ञात करें।
अब तक हमने केवल एक व्यक्ति को या तो शामिल या बहिष्कृत या दोनों माना है। लेकिन एक से अधिक लोगों की संभावना हो सकती है।
उदाहरण 3
8 व्यक्तियों की औसत आयु 3 वर्ष बढ़ जाती है जब 2 पुरुष जिनकी आयु 40 वर्ष और 50 वर्ष दो अन्य पुरुषों द्वारा प्रतिस्थापित किए जाते हैं। दो नए पुरुषों की औसत आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
इस मामले में, दो व्यक्ति शामिल हैं और छोड़कर। इसलिए हमें दोनों पर एक साथ विचार करना होगा।
पुरुषों को बाहर करने की कुल आयु = 40 + 50 = 90 वर्ष
बढ़ी हुई आयु = 3 × और 8 = 24 वर्ष
यह बढ़ी हुई उम्र है क्योंकि इसमें पुरुषों की संख्या बहिष्कृत से अधिक है।
नए पुरुषों की औसत आयु = (90 + 24) 2 (90 + 24) 2 = 57
इस मामले में हम प्रत्येक शामिल पुरुषों के व्यक्तिगत मूल्य की गणना नहीं कर सकते हैं।
औसत की कुछ समस्याओं को बिना किसी ट्रिक का उपयोग किए सीधे सूत्रों के माध्यम से हल किया जा सकता है
- प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का औसत = (n + 1) 2 (n + 1) 2
- पहले n सम संख्याओं का औसत = (n + 1)
- पहले n विषम संख्याओं का औसत = n
- लगातार संख्याओं का औसत = (FIRST + LAST NUMBER) 2 (FIRST + LAST NUMBER) 2
- प्रथम n प्राकृतिक सं के वर्ग का औसत। = [(n + 1) (2n + 1)] 6 [(n + 1) (2n + 1)] 6
- प्रथम n प्राकृतिक सं। का घन का औसत = [एन (एन + 1) 2] 4 [एन (एन + 1) 2] 4
- यदि m संख्याओं का औसत a है और n संख्याओं का औसत (m> n) b है तो शेष संख्याओं का औसत होगा: (ma be nb) (m − n) (ma-nb) (m-n)
कुछ उदाहरण देखें:
- पहले 100 प्राकृतिक संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।
- पहले 100 सम संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।
- पहले 100 विषम संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए
- 101 और 200 के बीच सभी प्राकृतिक संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।
- पहले 20 प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग का औसत ज्ञात कीजिए
- पहले 20 प्राकृतिक संख्याओं के घन का औसत ज्ञात कीजिए
- 25 संख्याओं का औसत 45 है और पहली 15 संख्याओं का औसत 35 है। शेष संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।
कुछ और मुश्किल सवाल:
उदाहरण 1
45 परीक्षाओं का औसत अंक 470 है। जिसमें से प्रथम 23 परीक्षाओं का औसत स्कोर 490 है और अंतिम 23 परीक्षाओं का औसत स्कोर 445 है। 23 वीं परीक्षा का स्कोर ज्ञात कीजिए?
हल:
यहां 23 वीं की परीक्षा पहले और अंतिम दोनों औसत में शामिल है। इसलिए सबसे पहले हम दोनों के औसत में औसत से बदलाव पाएंगे और दोनों अंतरों को जोड़ेंगे
फिर हम 23 के साथ अतिरिक्त अंतर को गुणा करेंगे क्योंकि हमें 23 वां परीक्षा स्कोर खोजना है।
और अंत में, हम परिणाम को समग्र औसत में जोड़ देंगे। वह हमें आवश्यक मूल्य प्रदान करेगा।
परीक्षा का औसत
परीक्षा औसत कुल 45470 प्रथम 23490 + 20 अंतिम 234457025 परीक्षा औसत कुल 45470 प्रथम 23490 + 20 अंतिम 23445 Exam25
-5 × मिमी 23 = 115
23 वीं परीक्षा का स्कोर = 470-115 = 355
उदाहरण 2
कक्षा में कुछ छात्रों की औसत आयु 40 वर्ष होती है। कुछ समय बाद 32 वर्ष की औसत आयु वाले 12 छात्र कक्षा में शामिल हो जाते हैं जिसके कारण कक्षा की औसत आयु 4 वर्ष कम हो जाएगी। फिर शुरू में छात्रों की संख्या ज्ञात करें।
हल:
छात्रों का औसत
X40X + 1236X40X + 1236
इन 12 छात्रों को शामिल करने के कारण औसत घटता है। और इसका कारण यह है कि औसत आयु कम है तो कक्षा की औसत आयु।
समायोजित मूल्य = 4×24 × 2 = x3x3
नए औसत = शामिल छात्रों का औसत + समायोजित मूल्य
इसलिए, 36 = 32 + x3x3
x3x3 = 4
x = 12
इसलिए प्रारंभ में छात्र 12 हैं।